Avaliação De Matemática - Questões Da Obmep

1. (2008)Com segmentos de 1 cm de comprimento podemos formar triângulos. Por exemplo, com nove desses segmentos podemos formar um triângulo eqüilátero de lado 3 cm. Com qual número de segmentos a seguir é impossível formar um triângulo?

4

5

6

7

8

Com 4 segmentos é impossível formar um triângulo, pois teríamos lados de medida 1, 1 e 2, o que impossibilita tal formação.

Explanation

Com 4 segmentos é impossível formar um triângulo, pois teríamos lados de medida 1, 1 e 2, o que impossibilita tal formação.

2. (2009)Ana deve a Beto 1 real, Carlos deve a Ana 1 real, Dora deve a Beto 2 reais, Beto deve a Emília 3 reais, Carlos deve a Emília 2 reais, Emília deve a Dora 1 real, Carlos deve a Beto 2 reais, Dora deve a Carlos 1 real e Ana deve a Dora 3 reais. Cada um deles recebeu de seus pais 10 reais para pagar suas dívidas. Depois que forem efetuados todos os pagamentos, quem vai ficar com mais dinheiro?

Ana

Beto

Carlos

Dora

Emília

A divisão do dinheiro será igual

Não é possível chegar à uma conclusão

Ana e Beto ganham o mesmo valor

3. (2009)O quadriculado da fi gura é feito com quadradinhos de 1 cm de lado. Qual é a área da região sombreada?

16 cm²

18 cm²

20 cm²

24 cm²

30 cm²

14 cm²

22 cm²

26 cm²

A figura pode ser decomposta em 20 quadradinhos e 8 triângulos, de acordo com o quadriculado. Juntando dois
desses pequenos triângulos formamos um quadradinho. Temos assim um total de 20 + 8/2 = 20 + 4 = 24 quadradinhos.

Explanation

A figura pode ser decomposta em 20 quadradinhos e 8 triângulos, de acordo com o quadriculado. Juntando dois
desses pequenos triângulos formamos um quadradinho. Temos assim um total de 20 + 8/2 = 20 + 4 = 24 quadradinhos.

4. (2009)O tabuleiro abaixo é usado para codificar letras. Por exemplo, a letra A é codificada como 50 e a letra S é codificada como 82. Camila codificou duas vogais e duas consoantes e depois colocou em ordem crescente os algarismos das letras codificadas, obtendo 01145578. É correto afirmar que, entre as letras codificadas, aparece a letra:

O

B

M

E

P

5. (2009)O pé do Maurício tem 26 cm de comprimento. Para saber o número de seu sapato, ele multiplicou essa medida por 5, somou 28 e dividiu tudo por 4, arredondando o resultado para cima. Qual é o número do sapato do Maurício?

38

39

40

41

42

37

43

44

6. (2009)Davi estava fazendo uma conta no caderno quando sua caneta estragou e borrou quatro algarismos, como na figura. Ele se lembra que só havia algarismos ímpares na conta. Qual é a soma dos algarismos manchados?

20

26

28

14

18

7. (2009)Partindo do número 2 na figura e fazendo as quatro contas no sentido da flecha o resultado é 12, porque 2 m 24 = 48 , 48 ÷12 = 4 , 4m 6 = 24 e 24 ÷ 2 = 12 . Se fizermos a mesma coisa partindo do maior número que aparece na figura, qual será o resultado?

18

32

64

72

144

48

112

96

8. (2009)Um bloco de folhas retangulares de papel pesa 2 kg. Outro bloco do mesmo papel tem o mesmo número de folhas que o primeiro, mas suas folhas têm o dobro do comprimento e o triplo da largura. Qual é o peso do segundo bloco?

4 kg

6 kg

8 kg

10 kg

12 kg

14 kg

16 kg

2 kg

Uma folha de papel do segundo pacote equivale a 6 folhas do primeiro pacote. Como a quantidade de folhas em cada pacote é a mesma, o peso do
pacote maior é 6 vezes o peso do pacote menor, ou seja, o pacote maior pesa 6×2=12
quilos.

Explanation

Uma folha de papel do segundo pacote equivale a 6 folhas do primeiro pacote. Como a quantidade de folhas em cada pacote é a mesma, o peso do
pacote maior é 6 vezes o peso do pacote menor, ou seja, o pacote maior pesa 6×2=12
quilos.

9. (2009)Em qual das alternativas aparece um número que fica entre 19/3 e 55?

2

4

5

7

0

1

3

6

10. (2009)Com palitos de fósforo formamos algarismos, conforme a fi gura. Deste modo, para escrever o número 188, usamos16 palitos. César escreveu o maior número que é possível escrever com exatamente 13 palitos. Qual é a soma dos algarismos do número que César escreveu?

8

9

11

13

15

Um número com uma determinada quantidade de algarismos, sendo o primeiro à esquerda diferente de zero, é sempre maior que qualquer número que tenha um algarismo a menos. Por exemplo, 1000 (com 4 algarismos) é maior do que 999 (que tem apenas 3 algarismos). Assim, com exatamente 13 palitos, devemos formar um número que tenha a maior quantidade possível de algarismos, sendo o primeiro à esquerda diferente de 0. Como o 1 é formado pelo menor número de palitos entre todos os algarismos, vemos que para obter o maior número possível com 13 palitos devemos usar tantos algarismos 1 quanto possível.

Não é possível usar 6 algarismos 1, pois neste caso já teríamos usado 12 palitos e não há algarismo que possa ser formado com apenas 1 palito. Pelo mesmo motivo, não é possível usar 5 algarismos 1; não há algarismo formado por 3 palitos. Mas é possível usar 4 algarismos 1; neste caso, usamos 8 palitos e podemos completar o número com um entre os algarismos 2 ou 5, que são formados por 5 palitos. Neste caso, devemos escolher o 5, que nos permite formar o número 51111 com 13 palitos. A soma dos algarismos deste número é 5+1+1+1+1=9.

Explanation

Um número com uma determinada quantidade de algarismos, sendo o primeiro à esquerda diferente de zero, é sempre maior que qualquer número que tenha um algarismo a menos. Por exemplo, 1000 (com 4 algarismos) é maior do que 999 (que tem apenas 3 algarismos). Assim, com exatamente 13 palitos, devemos formar um número que tenha a maior quantidade possível de algarismos, sendo o primeiro à esquerda diferente de 0. Como o 1 é formado pelo menor número de palitos entre todos os algarismos, vemos que para obter o maior número possível com 13 palitos devemos usar tantos algarismos 1 quanto possível.

Não é possível usar 6 algarismos 1, pois neste caso já teríamos usado 12 palitos e não há algarismo que possa ser formado com apenas 1 palito. Pelo mesmo motivo, não é possível usar 5 algarismos 1; não há algarismo formado por 3 palitos. Mas é possível usar 4 algarismos 1; neste caso, usamos 8 palitos e podemos completar o número com um entre os algarismos 2 ou 5, que são formados por 5 palitos. Neste caso, devemos escolher o 5, que nos permite formar o número 51111 com 13 palitos. A soma dos algarismos deste número é 5+1+1+1+1=9.

11. (2009)Um número natural A de três algarismos detona um número natural B de três algarismos se cada algarismo de A é maior do que o algarismo correspondente de B. Por exemplo, 876 detona 345; porém, 651 não detona 542 pois 1 < 2. Quantos números de três algarismos detonam 314?

120

240

360

480

600

Seja XYZ um número de três dígitos que detona 314. Devemos ter X = 4, 5, 6, 7, 8 ou 9; Y = 2, 3, ..., 9 e Z = 5, 6, 7, 8 ou 9. Portanto, temos 6 opções para o primeiro dígito, 8 para o segundo e 5 para o terceiro. Ou seja 6 x 8 x 5 = 240 .

Explanation

Seja XYZ um número de três dígitos que detona 314. Devemos ter X = 4, 5, 6, 7, 8 ou 9; Y = 2, 3, ..., 9 e Z = 5, 6, 7, 8 ou 9. Portanto, temos 6 opções para o primeiro dígito, 8 para o segundo e 5 para o terceiro. Ou seja 6 x 8 x 5 = 240 .

12. (2009)Mário montou um cubo com doze varetas iguais e quer pintá-las de modo que em nenhum vértice se encontrem varetas de cores iguais. Qual é o menor número de cores que ele precisa usar?

2

3

4

6

8

1

7

9

Cada vértice é a extremidade de três arestas e, portanto, são necessárias pelo menos três
cores diferentes.

Explanation

Cada vértice é a extremidade de três arestas e, portanto, são necessárias pelo menos três
cores diferentes.

13. (2008)Esmeralda compra cinco latas de azeite a quatro reais e setenta centavos a lata, cinco latas de leite em pó a três reais e doze centavos cada e três caixas de iogurte com seis iogurtes cada caixa ao preço de oitenta centavos por iogurte. Paga com uma nota de cinqüenta reais e quer saber quanto irá receber de troco. Qual das expressões aritméticas a seguir representa a solução para este problema?

50 - 5 x (4,70 + 3,12) +18 x 0,80

5 x 4,70 + 5 x 3,12 + 3 x 6 x 0,80 - 50

- [5 x (4,70 +3,12) + 3 x 6 x 0,80]+ 50

50 - [5 x (4,70 + 3,12) + 3x 6 + 0,80]

50 - [5 x (4,70 + 3,12) + 6 x 0,80]

14. (2009)Os alunos do sexto ano da Escola Municipal de Quixajuba fi zeram uma prova com 5 questões. O gráfico mostra quantos alunos acertaram o mesmo número de questões; por exemplo, 30 alunos acertaram exatamente 4 questões. Qual das afi rmações a seguir é verdadeira? cursos gratis free course obmep aprendaki.tk

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apenas 10% do total de alunos acertaram todas as questões

a maioria dos alunos acertou mais de 2 questões

menos de 200 alunos fizeram a prova

40 alunos acertaram pelo menos 4 questões

exatamente 20% do total de alunos não resolveram nenhuma questão

O gráfico mostra que 20 + 30+60+50+30+10 = 200 alunos fizeram aprova. Vamos às alternativas.

A) É falsa, pois 10% de 200 é 20 e o número de alunos que não resolveram nenhuma questão é 10, que corresponde a 5% do total de alunos.
B) É falsa, pois a quantidade de alunos que acertaram mais de 2 questões é 50+30+10 = 90 , menos do que a metade de alunos que fizeram a prova.
C) É falsa, pois o gráfico mostra que exatamente 200 alunos fizeram a prova.
D) É verdadeira, pois o número de alunos que acertaram 4 ou 5 questões é 30 + 10 = 40 .
E) É falsa, pois 20% de 200 é 40 e o número de alunos que não resolveram nenhuma questão é 20, que corresponde a 10% do total de alunos.

Explanation

O gráfico mostra que 20 + 30+60+50+30+10 = 200 alunos fizeram aprova. Vamos às alternativas.

A) É falsa, pois 10% de 200 é 20 e o número de alunos que não resolveram nenhuma questão é 10, que corresponde a 5% do total de alunos.
B) É falsa, pois a quantidade de alunos que acertaram mais de 2 questões é 50+30+10 = 90 , menos do que a metade de alunos que fizeram a prova.
C) É falsa, pois o gráfico mostra que exatamente 200 alunos fizeram a prova.
D) É verdadeira, pois o número de alunos que acertaram 4 ou 5 questões é 30 + 10 = 40 .
E) É falsa, pois 20% de 200 é 40 e o número de alunos que não resolveram nenhuma questão é 20, que corresponde a 10% do total de alunos.

15. (2009)Uma folha de caderno de Carlos é um retângulo com dois lados (bordas) amarelos de 24 cm e dois lados (bordas) vermelhos de 36 cm. Carlos pinta cada ponto do retângulo na mesma cor do lado mais próximo desse ponto. Qual é a área da região pintada de amarelo?

144 cm2

288 cm2

364 cm2

442 cm2

524 cm2

16. (2009)O jogo de dominó tem 28 peças diferentes. As peças são retangulares e cada uma é dividida em dois quadrados; em cada quadrado aparecem de 0 a 6 bolinhas. Em quantas peças o número total de bolinhas é ímpar?

9

10

12

21

24

11

16

20

O número total de bolinhas de uma peça é ímpar quando um dos quadrados tiver um número ímpar de bolinhas e
o outro tiver um número par de bolinhas. São 3 possibilidades para números ímpares (1, 3 e 5) e 4 possibilidades
(0, 2, 4 e 6) para números pares. Logo o número de peças que apresentam um número ímpar de bolinhas é 3×4=12.

Explanation

O número total de bolinhas de uma peça é ímpar quando um dos quadrados tiver um número ímpar de bolinhas e
o outro tiver um número par de bolinhas. São 3 possibilidades para números ímpares (1, 3 e 5) e 4 possibilidades
(0, 2, 4 e 6) para números pares. Logo o número de peças que apresentam um número ímpar de bolinhas é 3×4=12.

17. (2009)Benjamim passava pela praça de Quixajuba, quando viu o relógio da praça pelo espelho da bicicleta, como na fi gura.Que horas o relógio estava marcando?

5h 15min

5h 45min

6h 15min

7h 45min

6h 45min

7h 15min

5h 30min

6h 30min

Na imagem que aparece no espelho do Benjamim, o ponteiro dos
minutos aponta para o algarismo 3, enquanto que o ponteiro das
horas está entre o algarismo 6 e o traço correspondente ao
algarismo 5, mais próximo deste último. Deste modo, o relógio
marcava 5h 15min.
Outra maneira de enxergar o resultado é imaginar que a
imagem que aparece no espelho do Benjamim voltará ao normal se
for novamente refletida em um espelho. Fazemos isto na figura ao
lado e vemos imediatamente que a hora marcada era 5h 15min.

Explanation

Na imagem que aparece no espelho do Benjamim, o ponteiro dos
minutos aponta para o algarismo 3, enquanto que o ponteiro das
horas está entre o algarismo 6 e o traço correspondente ao
algarismo 5, mais próximo deste último. Deste modo, o relógio
marcava 5h 15min.
Outra maneira de enxergar o resultado é imaginar que a
imagem que aparece no espelho do Benjamim voltará ao normal se
for novamente refletida em um espelho. Fazemos isto na figura ao
lado e vemos imediatamente que a hora marcada era 5h 15min.

18. (2009)Na volta de uma pescaria, Pedro disse para Carlos: "Se você me der um de seus peixes, eu fi carei com o dobro do número de peixes com que você vai fi car". Carlos respondeu: "E se, em vez disso, eu jogar um de seus peixes no rio, fi caremos com o mesmo número". Quantos peixeseles pescaram ao todo?

5

7

8

9

11

6

10

12

Como Carlos disse “E se, em vez disso, eu jogar um de seus peixes no rio, ficaremos com o mesmo número”, vemos que Pedro pescou um peixe a mais que Carlos. O total de peixes é então a soma de dois inteiros consecutivos; uma tal soma é sempre ímpar, e a alternativa C) está excluída. Exprimimos agora cada uma das outras alternativas como soma de dois inteiros consecutivos, o menor sendo uma possibilidade para o número de peixes do Carlos e a maior para o número de peixes do Pedro: A) 5=2+3, B) 7=3+4, D) 9=4+5e E)11= 5 + 6 . Como Pedro disse “Se você me der um de seus peixes, eu ficarei com o dobro do número de peixes com que você vai ficar”, devemos verificar em qual destas expressões a maior parcela mais 1 é o dobro da menor
parcela menos 1. Isto só acontece na alternativa D), pois 5+1=6=2×(4−1).

Uma solução diferente é a seguinte. Já vimos que Pedro pescou 1 peixe a mais que Carlos. Se Carlos desse um de seus peixes para Pedro, então Pedro ficaria ao mesmo tempo com o dobro do número de peixes de Carlos e com 3 peixes a mais que Carlos; ou seja, Pedro ficaria com 6 peixes e Carlos com 3. Segue que Pedro pescou 5 peixes e Carlos outros 4.
Pode-se também resolver esta questão utilizando elementos de pré-algebra. Se n é a quantidade de peixes do Carlos, então Pedro tem n + 1 peixes. Se Carlos desse um peixe a Pedro, ele ficaria com n −1 peixes e Carlos ficaria com n + 2 . Temos assim n+ 2 =2(n −1)=2n−2, e segue que n = 4.

Explanation

Como Carlos disse “E se, em vez disso, eu jogar um de seus peixes no rio, ficaremos com o mesmo número”, vemos que Pedro pescou um peixe a mais que Carlos. O total de peixes é então a soma de dois inteiros consecutivos; uma tal soma é sempre ímpar, e a alternativa C) está excluída. Exprimimos agora cada uma das outras alternativas como soma de dois inteiros consecutivos, o menor sendo uma possibilidade para o número de peixes do Carlos e a maior para o número de peixes do Pedro: A) 5=2+3, B) 7=3+4, D) 9=4+5e E)11= 5 + 6 . Como Pedro disse “Se você me der um de seus peixes, eu ficarei com o dobro do número de peixes com que você vai ficar”, devemos verificar em qual destas expressões a maior parcela mais 1 é o dobro da menor
parcela menos 1. Isto só acontece na alternativa D), pois 5+1=6=2×(4−1).

Uma solução diferente é a seguinte. Já vimos que Pedro pescou 1 peixe a mais que Carlos. Se Carlos desse um de seus peixes para Pedro, então Pedro ficaria ao mesmo tempo com o dobro do número de peixes de Carlos e com 3 peixes a mais que Carlos; ou seja, Pedro ficaria com 6 peixes e Carlos com 3. Segue que Pedro pescou 5 peixes e Carlos outros 4.
Pode-se também resolver esta questão utilizando elementos de pré-algebra. Se n é a quantidade de peixes do Carlos, então Pedro tem n + 1 peixes. Se Carlos desse um peixe a Pedro, ele ficaria com n −1 peixes e Carlos ficaria com n + 2 . Temos assim n+ 2 =2(n −1)=2n−2, e segue que n = 4.

19. (2009)A figura mostra um polígono em forma de T e uma maneira de dividi-lo em retângulos de lados 1 cm e 2 cm. De quantas maneiras distintas, incluindo a da figura, é possível fazer divisões desse tipo?

7

9

11

13

15

20. (2009)Eduardo escreveu todos os números de 1 a 2009 numa folha de papel. Com os amigos, combinou o seguinte: cada um deles poderia apagar quantos números quisesse e escrever, no fim da lista, o algarismo das unidades da soma dos números apagados. Por exemplo, se alguém apagasse os números 28, 3, 6, deveria escrever no fim da lista o número 7, pois 28 + 3 + 6 = 37. Após algum tempo, sobraram somente dois números. Se um deles era 2000, qual dos números a seguir poderia ser o outro?

0

1

3

5

6

Primeiramente observe que o algarismo das unidades da soma de todos os números nunca muda.
Inicialmente o algarismo das unidades da soma de todos os números é 5. Pois, 1 + 2 + 3 + ...+ 10 = 55. E a cada bloco de dez consecutivos a soma terá dígito das unidades igual a 5.
Se, dos dois números que sobraram, um era 2000 o outro deve ser 5.

Explanation

Primeiramente observe que o algarismo das unidades da soma de todos os números nunca muda.
Inicialmente o algarismo das unidades da soma de todos os números é 5. Pois, 1 + 2 + 3 + ...+ 10 = 55. E a cada bloco de dez consecutivos a soma terá dígito das unidades igual a 5.
Se, dos dois números que sobraram, um era 2000 o outro deve ser 5.

21. (2009)A figura mostra um quadrado de lado 12 cm, dividido em três retângulos de mesma área. Qual é o perímetro do retângulo sombreado?

28 cm

26 cm

24 cm

22 cm

20 cm