OlimpÍADA Brasileira De MatemÁtica - Nível 3 - 1º Etapa

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OlimpADA Brasileira De Matemtica - Nvel 3 - 1 Etapa

XXXI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICAPrimeira Fase – Nível 3 Ensino MédioEsta prova também corresponde à prova da Primeira Fase da Olimpíada Regional nos Estados de: AL – BA – ES – GO – MA – RS – RN – SP – SC


Questions and Answers
  • 1. 
    . Um número natural A de três algarismos detona um número natural B de três algarismos se cada algarismo de A é maior do que o algarismo correspondente de B. Por exemplo, 876 detona 345; porém, 651 não detona 542 pois 1 < 2. Quantos números de três algarismos detonam 314?
    • A. 

      120

    • B. 

      240

    • C. 

      360

    • D. 

      480

    • E. 

      600

  • 2. 
    Os inteiros positivos m e n satisfazem 15m = 20n. Então é possível afirmar, com certeza, que mn é múltiplo de:
    • A. 

      5

    • B. 

      10

    • C. 

      12

    • D. 

      15

    • E. 

      20

  • 3. 
    Se x2 = x + 3 então x3 é igual a: A)          B)           C)        D)        E)
    • A. 

      X2 + 3

    • B. 

      X + 4

    • C. 

      2x + 2

    • D. 

      4x + 3

    • E. 

      X2 – 2

  • 4. 
    Na figura, o quadrado ABCD’ foi obtido a partir de uma rotação no sentido horário do quadrado ABCD de 25 graus em torno do ponto médio de AB. Qual é o ângulo agudo, em graus, entre as retas AC e BD’? A B ABCDC D<!--[if !vml]--><!--[endif]--> A B ABCDC D<!--[if !vml]--><!--[endif]-->
    • A. 

      5

    • B. 

      25

    • C. 

      45

    • D. 

      65

    • E. 

      85

  • 5. 
    Um dos cinco números a seguir é divisor da soma dos outros quatro. Qual é esse número?
    • A. 

      20

    • B. 

      24

    • C. 

      28

    • D. 

      38

    • E. 

      42

  • 6. 
    Sempre que Agilulfo volta para casa depois da escola com uma advertência, se sua mãe está em casa, ela o coloca de castigo. Sabendo-se que ontem à tarde Agilulfo não foi colocado de castigo, qual das seguintes afirmações é certamente verdadeira?
    • A. 

      Agilulfo recebeu advertência ontem.

    • B. 

      Agilulfo não recebeu advertência ontem.

    • C. 

      Ontem à tarde a sua mãe estava em casa.

    • D. 

      Ontem à tarde a sua mãe não estava em casa.

    • E. 

      Nenhuma das afirmações acima é certamente verdadeira.

  • 7. 
    Qual é o menor valor de n > 1 para o qual é possível colocar n peças sobre um tabuleiro <!--[if !vml]--><!--[endif]--> de modo que não haja duas peças sobre a mesma linha, mesma coluna ou mesma diagonal? As figuras a seguir mostram pares de peças na mesma linha, na mesma coluna e na mesma diagonal em diversos tabuleiros. · · · · · ·
    • A. 

      3

    • B. 

      4

    • C. 

      5

    • D. 

      6

    • E. 

      7

  • 8. 
    8. Na figura a seguir, ABCD é um quadrado de lado 4, K pertence ao lado AD, L pertence ao lado AB, M pertence ao lado BC e KLM é um triângulo retângulo isósceles, sendo L o ângulo reto. Então a área do quadrilátero CDKM é igual a
    • A. 

      6

    • B. 

      8

    • C. 

      10

    • D. 

      12

    • E. 

      14

  • 9. 
    . A figura ao lado é o mapa de um bairro: os pontos A, B, C e D são as casas e os segmentos são as ruas. De quantas casas é possível fazer um caminho que passa exatamente uma vez por cada uma das ruas? É   permitido passar mais de uma vez por uma mesma casa.
    • A. 

      0

    • B. 

      1

    • C. 

      2

    • D. 

      3

    • E. 

      4

  • 10. 
    O relógio de parede indica inicialmente meio-dia. Os ponteiros das horas e dos minutos irão formar um ângulo de 145 graus pela primeira vez:
    • A. 

      Entre 12h e 12h10min.

    • B. 

      Entre 12h10min e 12h15min.

    • C. 

      Entre 12h15min e 12h20min.

    • D. 

      Entre 12h20min e 12h25min.

    • E. 

      Após as 12h25min.

  • 11. 
    Considere o número inteiro positivo n tal que o número de divisores positivos do dobro de n é igual ao dobro do número de divisores positivos de n. Podemos concluir que n é
    • A. 

      Um número primo

    • B. 

      Um número par

    • C. 

      Um número ímpar

    • D. 

      Um quadrado perfeito

    • E. 

      Potência inteira de 2

  • 12. 
    Esmeralda tem cinco livros sobre heráldica em uma estante. No final de semana, ela limpou a estante e, ao recolocar os livros, colocou dois deles no lugar onde estavam antes e os demais em lugares diferentes de onde estavam. De quantas maneiras ela pode ter feito isso?
    • A. 

      20

    • B. 

      25

    • C. 

      30

    • D. 

      34

    • E. 

      45

  • 13. 
    O professor Piraldo aplicou uma prova de 6 questões para 18 estudantes. Cada questão vale 0 ou 1 ponto; não há pontuações parciais. Após a prova, Piraldo elaborou uma tabela como a seguinte para organizar as notas, em que cada linha representa um estudante e cada coluna representa uma questão. Questões ® Estudantes ¯ 1 2 3 4 5 6 Arnaldo 0 1 1 1 1 0 Bernaldo 1 1 1 0 0 1 Cernaldo 0 1 1 1 1 0 <!--[if !vml]--><!--[endif]--> <!--[if !vml]--><!--[endif]--> Piraldo constatou que cada estudante acertou exatamente 4 questões e que cada questão teve a mesma quantidade m de acertos. Qual é o valor de m?
    • A. 

      8

    • B. 

      9

    • C. 

      10

    • D. 

      12

    • E. 

      14

  • 14. 
    Sabe-se que 2x2 – 12xy + ky2  0 para todos x, y reais. O menor valor real de k é  
    • A. 

      9

    • B. 

      16

    • C. 

      18

    • D. 

      27

    • E. 

      36

  • 15. 
    A famosa Conjectura de Goldbach diz que todo número inteiro par maior que 2 pode ser escrito como a soma de dois números primos. Por exemplo, 18 pode ser representado por 5 + 13 ou, ainda, por 7 + 11. Considerando todas as possíveis representações de 126, qual a maior diferença entre os dois primos que a formam?  
    • A. 

      112

    • B. 

      100

    • C. 

      92

    • D. 

      88

    • E. 

      80

  • 16. 
    Um subconjunto de {1,2,3,…,20} é superpar quando quaisquer dois de seus elementos têm produto par. A maior quantidade de elementos de um subconjunto superpar é:  
    • A. 

      3

    • B. 

      4

    • C. 

      6

    • D. 

      7

    • E. 

      11

  • 17. 
    Para cada número natural n, seja  a soma dos dez primeiros múltiplos positivos de n. Por exemplo,  = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20. Quanto é ?  
    • A. 

      2925

    • B. 

      3025

    • C. 

      3125

    • D. 

      3225

    • E. 

      3325

  • 18. 
    Dois carros deixam simultaneamente as cidades A e B indo de uma cidade em direção à outra, com velocidades constantes, e em sentidos opostos. As duas cidades são ligadas por uma estrada reta. Quando o carro mais rápido chega ao ponto médio M de AB, a distância entre os dois carros é de 96 km. Quando o carro mais lento chega ao ponto M, os carros estão a 160 km um do outro. Qual a distância, em km, entre as duas cidades?  
    • A. 

      320

    • B. 

      420

    • C. 

      480

    • D. 

      520

    • E. 

      560

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