Matematica

Intervallo chiuso

Si dice intervallo chiuso di estremi a e b il sottoinsieme di numeri reali x tali che, a<=x<=b

Intervallo aperto

Si dice intervallo aperto di estremi a e b il sottoinsieme di numeri reali x tali che a

Logaritmo base a di c

Il logaritmo base a di c e' quel numero che messo come esponente ad a da' come risultato c

Funzione

Consideriamo due insiemi A e B. La relazione che associa agli elementi dell'insieme A gli elementi dell'insieme B, in modo tale che a ogni elemento dell'insieme A corrisponda al piu' un solo elemento dell'insieme B si chiama funzione/

Campo di esistenza di una funzioni

I valori x nel dominio della funzione per cui la funzione e' definita si chiama campo di esistenza della funzione

Funzioni lineari Funzioni lineari affini Funzioni quadratiche

Le funzioni lineari sono quelle espressioni la cui espressione analitica e' y=mx Le funzioni lineari affini sono le funzioni la cui espressione analitica e' y=mx+b Le funzioni quadratiche sono quelle funzioni la cui espressione analitica e' y=ax2+bx+c

Proporzionalita' inversa

Due grandezze x e y sono legate da proporzionalita' inversa quando il loro prodotto e' costante cioe' xy=k. Il grafico di tale legge e' un iperbole avente per asintoti gli assi cartesiani

Funzioni potenza

Sono le funzioni la cui espressione analitica e' y=X^a per x>0 e a non uguale a zero

Funzione esponenziale

L'espressione analitica di una funzione esponenziale e' una funzione la cui espressione analitica e' y=a^x dove a e' un numero reale positivo diverso da uno

Funzione logaritmica

L'espressione analitica di una funzione logaritmica e' log(a)x=y dove a e' un numero reale positivo diverso da uno

Proprieta' locali

Quando le proprieta' sono valide solo in un intorno di un punto si parla di proprieta' locali

Proprieta' globali

Quando le proprieta' sono valide in tutto l'insieme della funzione si parla di proprieta' globali

Funzioni pari

UNa funzione si dice pari se f(x)=f(-x). Il grafico di una funzione pari e' simmetrico rispetto all'asse delle ordinate

Funzioni dispari

Una funzione si dice dispari se f(x)=-f(-x). Il grafico e' simmetrico rispetto all'origine

Superiormente limitata

Si dice superiormente limitata una funzione il cui grafico sta tutto sotto una retta di equazione y=k. f(x)<=k

Funzione inferiormente limitata

Si dice funzione inferiormente limitata una funzione il cui grafico sta tutto sopra una retta di equazione y=k, f(x)>=k

Funzione limitata

Una funzione il cui grafico e' compreso in una striscia di piano cartesiano definita da due rette y=a e y=b, si dice limitata. in formule a<=f(x)<=b

Funzione crescente

Una funzione si dice crescente se per ogni coppia di valori a e b appartenenti al dominio della funzione tali che a>b, succede che f(a)>=f(b)

Funzione decrescente

Una funzione si dice decrescente se per ogni copia di numeri a e b appartenenti al dominio della funzione tali che a>b, succede che f(a)<=f(b)

Funzione strettamente crescente

Una funzione si dice strettamente crescente se per ogni copia di numeri a e b appartenenti al domino della funzione tali che a>b, succede che f(a)> f(b)

Funzione strettamente decrescente

Una funzione si dice strettamente decrescente se per ogni copia di numeri a e b appartenenti al dominio della funzione tali che a>b, succede che f(a)

monoto'na

una funzione che sia crescente o decrescente si dice monoto'na

regione convessa

Una regione di piano cartesiano si dice convessa se presi due punti appartenenti alla regione di piano, il segmento che li unisce e' interamente contenuto nella regione.

regione concava

Una regione di piano cartesiano si dice concava se presi due punti appartenenti alla regione, il segmento che li unisce non e' interamente contenuto nella regione.

epigrafico

l'insieme di punti del piano cartesiano che stanno al di sopra del grafico di una funzione si chiama epigrafico della funzione stessa

funzione convessa

una funzione si dice convessa se la regione del suo epigrafico e' convessa

funzione concava

una funzione f si dice concava se la regione dell'epigrafico della funzione -f e' convessa

Punto di flesso

un punto x0 di una funzione f, per cui la funzione e' concava (o convessa) alla destra del punto, e convessa (o concava) alla sua sinistra, si dice punto di flesso

Massimo globale

Una funzione f possiede un punto di massimo globale nel punto x0, se per ogni valore di x appartenente al dominio della funzione vale la disugualianza f(x0)>=f(x)

Minimo globale

Una funzione f possiede un punto di minimo globale nel punto x0, se per ogni valore di x appartenente al dominio della funzione, vale la disugualianza f(x0)<=f(x)

Minimo locale

una funzione possiede un punto di minimo locale in un punto x0, se esiste un intorno di x0 per cui per ogni valore di x nell'intorno vale la disugualianza f(x0)<=f(x)

Massimo locale

Una funzione possiede un punto di massimo locale in un punto x0, se esiste un intorno di x0 per cui per ogni valori di x nell'intorno vale la disugualianza f(x0)>=f(x)

Funzione composta

Date 2 funzioni f: A-->B e g: C-->D, tali che ogni valore immagine di f cada nell'insieme C si applichi prima f e poi g. Si dice funzione composta di f e di g, la funzione ottenuta associando a ogni argomento di f l'immagine di g e si scrive g(f(x))

Funzione invertibile e inversa

Una funzione f:A-->B si dice invertibile quando essa e' una corrispondenza biunivoca tra gli elementi di A e gli elementi di B. In questo caso la funzione che associa a ogni elemento y di B, l'elemento x (unico) di A, tale che f(x)=y, si chiama funzione inversa e si indica con il simbolo f-1(x).

Successione

Una successione e' una funzione avente per dominio l'insieme di numeri naturali

Successione superiormente limitata

Una successione An si dice superiormente limitata se esiste un valore k per cui An<=k per tutti i valori di n.

Successione inferiormente limitata

Una successione An si dice inferiormente limitata se esiste un valore k per cui An>=k per tutti i valori di n.

Successione limitata

Una successione An limitata superiormente e inferiormente si dice limitata

Successione crescente

Una successione si dice crescente se An+1>=An per tutti i valori di n

Successione decrescente

Una successione si dice decrescente se An+1<=An per tutti i valori di n

successione mono'tona

UNa successione monoto'na e' crescente o decrescente

Definitivamente

Se una successione gode di una proprieta' da un certo indice n in poi, si dice che tale proprieta' e' goduta definitivamente

Successione convergente

Una successione An si dice convergente a un limite A, se per ogni numero reale E>0, la distanza tra An e A e' definitivamente minore di E

infinitesimo

una successione convergente a zero si dice infinitesimo

successione divergente a piu' infinito

Una successione An si dice divergente a + infinito se per ogni numero reale M>0, An e' definitivamente maggiore di M.

Divergente a meno infinito

Una successione An si dice divergente a - infinito se per ogni numero reale M<0, An e' definitivamente minore di M.

Divergente all'infinito

Una successione An si dice divergente all'infinito se per ogni numero reale M>0, |An| e' definitivamente maggiore di M.

infinito

Una successione divergente si dice infinito

irregolare

una successione che non converge ne' diverge si dice irregolare

Successione geometrica

una successione An si dice geometrica se il rapporto tra un termine e quello che lo precede e' costante: RAPPORTO=Ragione

e

lim(1+1/n)^n=e x-->+infinito lim(1+k/n)^n=e^k x-->+infinito

infinito di ordine superiore

Se An/Bn tende all'infinito si dice che An e' un infinito di ordine superiore rispetto a bn e si scrive Bn=o(An)

infinito di ordine inferiore

Se An/Bn tende a zero si dice che An e' un infinito di ordine inferiore rispetto a Bn e si scrive An=o(Bn)

infinito dello stesso ordine

se An/bn tende a k si dice che an e' un infinito dello stesso ordine di bn e si scrive an=O(bn)

asintotico

se An/bn tende a 1 si diche che an e' asintotico a bn e si scrive An~Bn

non confrontabili

se an/bn non tende a nessun limite, si dice che an e bn non sono confrontabili

infinitesimo di ordine superiore

se an=o(bn) si dice che an e' un infinitesimo di ordine superiore a bn (+ veloce) Infinitesimi di ordine superiore sono trascurabili

Limite finito per x che tende a un valore finito

Se per qualunque succesione di punti Xn del dominio di f convergenti a c, la successione di immagini f(Xn) tende a un numero L, si dice che la funzione f tende a L per x tendente a c e si scrive: limf(x)=L x-->c

Limite destro

Il lim (per x tendente a c+) si dice limite destro. I limite della funzione per la successione Xn tendente a c da valori maggiori di x.

Limite sinistro

Il lim (x-->c-) si dice limite sinistro. Il limite della funzione quando la successione Xn tende a c da valori minori di c

Asintoto verticale

Il limite infinito di una funzione per x tendente a un numero finito

Asintoto orizzontale

Il limite finito di una funzione per x tendente all'infinito

Funzione continua

Data una funzione f, se dice che f sia continua in un punto x0 se f(x0)=limf(x) x-->x0

Discontinuita'

Nel caso dove il limite di una funzione non esista nel punto x0, la funzione non sia definita in x0, oppure f(x0) sia diverso da lim per x-->x0 di f(x) si dice che la funzione presenta discontinuita' nel punto x0

Discontinuita' a salto

I punti di discontinuita' dove lim (x-->x0+) e' diverso da lim (x-->x0-) si dicono discontinuita a salto

Discontinuita' eliminabili

I punti di discontinuita' per cui il limite della funzione esiste ma il valore della funzione non esiste, o non e' uguale al limite si chiamano discontinuita' eliminabili

Discontinuita' di seconda specie

I punti di discontinuita' dove almeno uno dei due limiti (destro o sinistro) della funzione non esiste si chiamano discontinuita' di seconda specie

zero della funzione

il punto dove la funzione si annulla tale che f(x)=0 si dice zero della funzione

funzione asintotica

quando il rapporto di f(x) e g(x) per x tendente a + infinito o a zero =1 si dice che f e' asintotica a g e si indica con il simbolo ~

f=o(g)

quando il limite per x tendente a + infinito o a zero di f(x)/g(x)= a zero si dice che f e' o piccolo di g

pendenza media

La pendenza media di una funzione in un intervallo [a,b] e' il rapporto f(b)-f(a0/b-a

rapporto incrementale

Il rapporto incrementale= delta y/delta x

derivata

Data una funzione definita in un intervallo (a, b) tali che a

La retta tangente di una curva in un punto x0

Si chiama retta tangente ad una curva in un punto x0, la retta che passa per il punto x0, f(x0), e ha come coefficente angolare la derivata della funzione nel punto x0. In formule F(x)-f(x0)=f1(x0)(x-x0)+o(x-xo)

Derivata destra

Si chiama derivata derstra di una funzione f in un punto x0, il limite del rapporto incrementale quando xàx0+

Derivata sinistra

Si dice derivata sinistra di una funzione f in un punto x0, il limite del rapporto incrementale quando x-->x0-

Punto angoloso

Quando in un punto x0 di una funzione f, la derivata destra e la derivata sinistra esistono ma non sono uguali tra loro si dice che il punto e' un punto angoloso

Differenziale

data una funzione f definita in un intervallo (a,b), e sia a

Caratteristiche dei limiti

-UNa successione convergente e' limitata, una successione limitata non e' necessariamente convergente -Il limite di una successione se esiste e' unico -Una successione monoto'na e' regolare -Una successione monoto'na e limitata e' convergente

Forme indeterminate

0/0 infinito/infinito infinito-infinito infinito(zero)

Teorema del confronto

se almeno definitivamente An<=Bn allora il lim(per n-->piu infinito) An<=Lim(per n-->piu' infinito) Bn

Teorema della permanenza del segno

Se almeno definitivamente An<=0 allora il lim(n-->piu' infinito)An<=0

Teorema: Criterio del rapporto

Se An e' una successione di numeri positivi e L=limite An+1/An= L>1: diverge L=1: ? L<1: converge 0

Condizioni per esistenza di un limite

lim = lim x-c+ x-c-

Condizioni per esistenza funzione continua

-Esistenza di un limite -Funzione definita in f(x0) -limf(x)=f(x0) x-->x0

Teorema degli zeri

Sia f e' una funzione continua definita in un intervallo [a,b]. Se f assume valori discordi negli estremi dell'intervallo, esiste almeno un punto nella funzione dove essa si annulla: dove f(x)=0. Questo punto si chiama zero della funzione. Se la funzione e' strettamente monotona lo zero e' unico.

Teorema di Darboux, dei valori intermedi

Se f e' una funzione continua definita in un intervallo [a,b], essa assumera' almeno una volta tutti i valori compresi tra f(a) e f(b)

Teorema di continuita' della funzione inversa

Se f e' una funzione continua e invertibile in un intervallo, l'inversa della funzione f e' cotinua nel suo intervallo di definizione. (non deve essere continua per essere invertibile)

Teorema di Weierstrass

Sia f una funzione continua definita in un intervallo chiuso e limitato. La funzione assumera' un valore massimo e un minimo nell'intervallo.

Limiti da sapere

(e^x)-1~x (per x-->0) (ln(x+1)~x (per x-->0) Senx~x PER X CHE TENDE A ZERO

Tutte le rette orizzontali hanno pendenza...

ZERO

Continuita' e derivabilita'

Se f e' continua non e' necessariamente derivabile Se f e' derivabile e' necessariamente continua

Diffferenziabilita'

Una funzione di variabile reale e' differenziabile in un punto x0 se e solo se e' derivabile nello stesso punto

Differenziabilita' e continuita'

Se f e' differenziabile in un punto x0, f e' continua in un punto x0

Derivata di A^x

A^x(ln(A))

f1(f-1(y))

1/f1(x)

Funzione marginale

Quando una funzione e' una grandezza eocnomica, la sua derivata si dice funzione marginale/

Tasso medio di variazione dei costi

Supponiamo esista un impresa che produce q quantita' di prodotti ad un costo C(q). Quando la produzione passa da q0 a q, e i costi da C(q0) a C(q) la grandezza C(q)-C(q0)/q-q0 si dice tasso medio di variazione dei costi.

Costo Marginale

La variazione di costo in relazione a una variazione infinitesima di quantita' di produzione. Il costo sostenuto da un azienda per produrre 1 unita' in piu' del prodotto

Ricavo marginale

La variazione di ricavo in relazione ad una variazione infinitesima di qntita' prodotta. Il ricavo ottenuto sa un impresa per produrre un unita' in piu' del prodotto

Costo unitario

Il rapporto tra il costo totale sostenuto per produrre q unita' di prodotti, e la quantita' Cu: C(q)/q

Elasticita' ad arco

La grandezza (f(x)-f(x0)/f(x0))/(x-x0)/x0) si dice elasticita' ad arco di una funzione f in un punto x0 relativo ad un incremento x-x0. La variazione percentuale di una grandezza in relazione ad un'altra.

Elasticita' puntuale

Il limite dell'elasticita' ad arco per x-->x0 si dice elasticita' puntuale di una funzione f nel punto x0 e si indica con il simbolo Ef(x0). Per calcolare l'elasticita' puntuale: F1(x0)/(f(x0)/x0)

Semielasticita' puntuale

f1(x)/f(x)

Una funzione si dice: Elastica Anelastica Inelastica

Elastica nel punto x0: se |Ef(x0)|>1 Anelastica nel punto x0: se |Ef(x0)|=1 Inelastica nel punto x0: se |Ef(x0)|<1 i.e. se e' elastica variazione percentuale di f e' maggiore della variazione percentuale di x

Derivata seconda

La derivata della derivata prima si dice derivata seconda, e misura la velocita' di variazione della derivata prima, e dunque il tasso di variazione della pendenza della curva.

Polinomio di taylor del secondo ordine della funzione f centrato nel punto x0

Approssimazione della curva che ha in comune: -Passa per lo stesso punto x0 -Ha lo stesso valore della derviata prima nel punto x0(stessa pendenza nel punto x0) -Stessa derivata seconda nel punto x0(la derivata prima delle due funzioni nel punto x0 varia con la stessa velocita) g(x)=f(x0)+f1(x0)(x-x0)+1/2f11(x)(x-x0)2

Formula di taylor per la funzione f centrata nel punto x0 CON RESTO DI PEANO

f(x)=G(x)+o((x-x0)2) approssimazione + ERORRE

Che cosa mi puo' dare graficamente l'elasticita':

f1(x0)>f(x0)/(x0) -->La pendenza della tangente e' maggiore della pendenza della retta che passa per l'origine

Funzioni potenza X^K

Elasticita' costante

Teorema di fermat

Se la funzione f ammette un punto di massimo o minimo relativo x0, nell'intervallo (a,b) e se la funzione e' derivabile nel punto x0, allora f1(x0)=0-->punto stazionario

Dimostrazione teorema di fermat

Suponiamo che il punto x0 sia un punto di massimo Allora f(x0)>=f(x) nei punti dove x e' abbastanza vicino a X0. Limite destro:Lim: f(x)-f(x0) h-->0+ h Il numeratore e' negativo o nullo, mentre il denominatore e' positivo. La funzione, quindi avra' segno negativo. Il suo limite che esiste perche' la funzione e' derivabile, sara' negativo o nullo per il teorema della permanenza del segno. Limite sinistro: Lim f(x)-f(x0) h-->0- h Il numeratore e' negativoo nullo, mentre il denominatore e' negativo. La funzione quindi avra' segno positivo. Il suo limite che esiste perche' la funzione e' derivabile, per il teorema della permanenza del segno, e' positivo o nullo. Visto che il limite esiste, perche' la funzione e' derivabile, il limite dx e qll sx devono essere uguali l'unico modo perche' siano uguali e' che siano entrambi nulli

Teorema di Lagrange (o del valore medio)

Se f e' una funzione continua in un intervallo chiuso [a,b], e derivabile in un intervallo aperto (a,b), allora esiste almeno un punto c interno all'intervallo (a, b) dove f1(c)=(f(b)-f(a)/b-a) GRAFICAMENTE: TANGENTE PARALLELA A CORDA (BA)

Derivata ti dice che fa la funzione

Se f e' una funzione derivabile e crescente in (a,b) allora per ogni valore di x tale che a

test di monotonia

Se f e' derivabile in un intervallo (a,b), e se per ogni valore di x tale che a

Come capire mazx e min con test di monotoni

Se f e' derivabile in un intorno di x0, e se f1(x0)=0, e se f1(x)=>0 nell'intorno sx di x0, e f1(x)<=0 in un intorno dx di x0, la funzione ha un punto di massimo local ein x0 Sia f e' derivabile in un intorno di x0, e sia f1(x0)=0. Se f1(x)<=0 in un intorno sinisto di x0 e f1(x)=>0 in un intorno destro di x0, allora la funzione ha un punto di massimo locale in x0

Definire natura dei punti stazionari con derivate seconda

Se una funzione e’ definita in un intervallo (a,b) Se f1(x0)=0 Se e’ differenziabile due volte in x0 Allora Se f11(x)>0 Punto di minimo locale in x0 Se f11(x)<0 Punto di massimo locale in x0 DIMOSTRAZIONE Consideriamo il teorema di taylor in un punto x0 dove f1(x0)=0 F(x)=f(x0)+ (1/2)(f11x0)(x-x0)2+o((x-x0)2) Quindi il valore della funzione in x (in un intorno di x0) e’ f(x0) piu’ un valore il cui segno e’ definito dalla derivate seconda. Se f11(x0) e’ positivo, f(x)>f(x0) quindi e’ un punto di minimo locale. E viceversa.

Test di convessita’

Se una funzione e’ differenziabile 2 volte in un intervallo (a,b) allora le seguenti tre condizioni sono equivalenti : -f e’ convessa -f1 e’ crescente -f11>=0 b) e c) sono equivalenti per il test di monotonia a) e’ equivalente a b) geometricamente. Se f e’ convessa la pendenza di f e’ crescete o rimane costanteàquindi f1 e’ crescente GRAFICAMENTE : Se f e’ convessa il grafico della funzione e’ sempre al di sopra delle rette tangenti SE F non e’ differenziabile 2 volte in (a,b) e’ convessa se e solo se F(x)>=f(x0)+f1(x-x0)

Punti di flesso (condizione necessaria)

Se X0 e’ un punto di flesso in una funzione ed esiste f11(x0) allora necessariamente f11(x0)=0

SCHEMA PER STUDIARE FUNZIONI

Dominio Limiti a estremi del dominio Asintoti Vert, orizzontali, obliqui F1(x) F11(x) C.E. delle derivate Punti min, max, flesso Grafico

Come calcolare asintoti obliqui

Lim (f(x)/x)=m xàinfinito Lim f(x)-mx= Q xàinfinito y=x+Q (asintoto obliquo)